「犬を返して欲しければ　
スチェンカに出ろ」

е́сли は、「もし～ならば」という条件を表す節を導きます。
наза́д は「後方へ、元の場所へ」という意味で、хоте́ть＋対格＋наза́д で「～を返してほしい」「～を取り戻したい」という意味になります。条件節全体では、「自分たちの犬を返してほしければ」となります。
主語の вы は省略されていますが、хоти́те の形から、主語が二人称複数の вы であることが分かります。

выхо́дите は、不完了体 выходи́ть の命令形・二人称複数で、「外へ出て来なさい」「出て来い」という意味です。
ここでは、移動を表す動詞の後ろに不定形 дра́ться を置き、移動の目的を表しています。выхо́дите дра́ться で、「戦うために出て来い」「戦いに出て来い」という意味になります。

дра́ться は、不完了体の動詞で、「殴り合う、けんかをする、戦う」という意味です。

сте́нка на сте́нку は、二つの集団が壁のように横に並び、向かい合って殴り合う形式を表す固定表現です。最初の сте́нка は主格、на сте́нку は前置詞 на＋対格です。
この文では、сте́нка на сте́нку 全体が副詞的に働き、どのような形式で戦うのかを表しています。дра́ться сте́нка на сте́нку で、「集団対集団で殴り合う」「スチェンカの形式で戦う」という意味になります。

したがって、выхо́дите дра́ться сте́нка на сте́нку! は、「スチェンカの形式で戦うために出て来い」という意味です。

те は、指示代名詞 тот の複数・主格で、関係代名詞 кого́ を含む節の先行詞です。
те, кого́ вы и́щете で、「あなたたちが探している人たち」という意味になります。
単数の男性を指す場合は тот、単数の女性を指す場合は та を用います。

кого́ は、関係代名詞 кто の対格です。関係代名詞の格は、関係代名詞節の中での役割によって決まります。ここでは、и́щете の目的語なので対格の кого́ が使われています。

челове́ка с нако́лками, кото́рый прие́хал с Хокка́йдо にも、関係代名詞節が含まれています。
先行詞の челове́ка は、主文では иска́ли の目的語なので対格ですが、関係代名詞 кото́рый は、関係代名詞節の中では прие́хал の主語なので、男性・単数・主格になっています。
全体で、「北海道から来た、刺青のある男」という意味です。

前置詞 с＋生格は、出発点を表し、「～から」という意味になります。
Хокка́йдо は格変化をしない地名なので語形は変わりませんが、ここでは前置詞 с に支配され、文法上は生格として扱われています。

ロシア語では、関係代名詞節は原則としてコンマで区切ります。原作では吹き出し内の視認性を優先してコンマが省略されていると考えられるため、このページでは学習用に標準的なコンマを補って掲載しています。