「これこそがスチェンカなのだ」

Бей их! は、0005.html 「いけいけ！！」の文2や、0006.html 「戦うのはその男だけだ」の文2にも登場した同じ台詞です。
бей は不完了体 бить（殴る、打つ）の命令形・二人称単数、их は「彼らを」という意味です。

この表現については、0005.html の文2「Бей их!」の読解メモで扱っています。

「いけいけ！！」 文2　「Бей их!」の読解メモ

шу́тки шути́ть は、「冗談を言う」「ふざける」という意味で使われる慣用的な言い回しです。動詞を先にした шути́ть шу́тки という並びもありますが、шу́тки шути́ть の形がよく用いられます。
Шу́тки шути́ть взду́мал? は主語の ты が省略されており、Ты взду́мал шу́тки шути́ть? と考えることができます。

взду́мал は完了体 взду́мать（～しようと思い立つ、ふと思いつく）の過去・男性単数形です。
взду́мать は、ду́мать（考える）に接頭辞 вз- が付いた語で、「考える」という意味をもとに、「ふと思いつく」「～しようと思い立つ」という意味になっています。
взду́мать + 不定形 は疑問文で相手の行動をとがめるように使うと、「～するつもりか？」「何を考えて～しているんだ？」という非難のニュアンスになります。ここでは Шу́тки шути́ть взду́мал? で「冗談を言うつもりか？」「ふざける気か？」といった意味になります。

поста́вить на + 対格 は、賭け事で「～に賭ける」という意味です。もともとの поста́вить には「置く、立てる」という意味がありますが、賭け事では поста́вить де́ньги на ...（～に金を賭ける）のように使われます。
また、ста́вить / поста́вить と同じ語族に ста́вка（賭け、賭け金）があり、「何かを置く・据える」という基本的なイメージから、賭け事の「～に賭ける」という意味につながっていると考えると分かりやすいです。
この文では де́ньги などが省略され、Мы на вас поста́вили! で「俺たちはお前らに賭けたんだ！」という意味になっています。
比較的中立な語順では Мы поста́вили на вас. とすることもできますが、ここでは на вас が動詞の前に置かれ、「俺たちはお前らに賭けたんだぞ」という、賭けの対象を意識させる語順になっています。

Ну, понесло́сь! は、何かが勢いよく始まったときに使われる口語的な表現で、「さあ、始まった！」「始まったぞ！」といった意味です。
понесло́сь は完了体 понести́сь の過去・中性単数形で、このような形で「物事が動き出した」「勢いがついた」という意味に使われます。

Не стой, не гляди́ は、不完了体 стоя́ть（立っている）と гляде́ть（見る）の否定命令です。
「立っているな、見ているな」、自然には「突っ立って見ているな」という意味になります。

а сам свою́ си́лу покажи́ は、前半の Не стой, не гляди́（立って見ているな）と対比して、「見ているだけではなく、自分自身で自分の力を見せろ」と促しています。比較的中立な語順にすると а сам покажи́ свою́ си́лу と考えることができます。
сам は「自分自身で」、свою́ си́лу は「自分の力を」という意味です。
покажи́ は完了体 показа́ть（見せる）の命令形・二人称単数です。

вот э́то кула́чный бой! は、「これこそが拳闘だ」「これが拳の勝負だ」と強く示す表現です。
кула́чный は кула́к（拳）からできた形容詞で、кула́чный бой は文字どおり「拳による戦い」「拳闘」を表します。

Зна́тная дра́ка! の зна́тный は、ここでは「立派な」「すばらしい」「上等な」といった評価を表し、дра́ка は「殴り合い、けんか」という意味です。
直訳すると「見事な殴り合いだ！」といった表現になります。

原作訳では кула́чный бой や дра́ка を、場面で行われている「スチェンカ」としてまとめて表現しています。
文3のロシア語には、сте́нка という語そのものはありません。

по + 与格 には「～に従って」「～どおりに」という意味があり、по пра́вилам で「規則どおりに」「ルールに従って」という意味になります。
пра́вилам は中性名詞 пра́вило（規則、ルール）の複数・与格です。

не по пра́вилам は、その否定なので「ルールどおりではない」「規則違反だ」という意味です。
ロシア語本文には「スチェンカ」にあたる語はありませんが、突然鎌を持ち出した杉元を見て、観客が「これはルール違反だ」と叫んでいるため、原作では「これはスチェンカじゃないッ」と場面に合わせて訳されています。

ба́ня は、ロシアの蒸し風呂・浴場を表す女性名詞です。日本語ではロシア式蒸し風呂を指して「バーニャ」と呼ばれます。

この箇所は人物の台詞ではなく、原作では小屋の説明として БАНЯ と書かれています。
アニメでは、岩息の台詞として「ロシア式蒸し風呂…『バーニャ』だ！！」と説明されています。